La pregunta
Se dice que una estimación de un valor de datos real tiene un error de p por ciento si p = 100|e − a| / a, donde e es el valor estimado y a es el valor real. La estimación de Emma sobre su ingreso total del año pasado tuvo un error de menos del 20 por ciento. Su estimación sobre los ingresos provenientes de clases particulares el año pasado también tuvo un error de menos del 20 por ciento. ¿El ingreso real de Emma por clases particulares el año pasado representó como máximo el 45 por ciento de su ingreso total real de ese año?
(1) El ingreso estimado de Emma por clases particulares el año pasado fue el 30 por ciento de su ingreso total estimado de ese año.
(2) El ingreso total estimado de Emma el año pasado fue de $40,000.
Las opciones de respuesta en Data Sufficiency
Todas las preguntas de Data Sufficiency del GMAT utilizan las mismas cinco opciones fijas. Memorícelas para no tener que releerlas el día del examen:
A. El enunciado (1) POR SÍ SOLO es suficiente, pero el enunciado (2) por sí solo no lo es.
B. El enunciado (2) POR SÍ SOLO es suficiente, pero el enunciado (1) por sí solo no lo es.
C. AMBOS enunciados JUNTOS son suficientes, pero NINGUNO por sí solo lo es.
D. CADA enunciado POR SÍ SOLO es suficiente.
E. Los enunciados (1) y (2) JUNTOS NO son suficientes.
La respuesta rápida
La respuesta correcta es A. El enunciado (1) por sí solo es suficiente y el enunciado (2) por sí solo no lo es. El enunciado (1) fija el ingreso estimado por clases particulares en el 30 por ciento del ingreso total estimado. Incluso al llevar ambos errores a sus valores extremos más desfavorables, la proporción real del ingreso por clases particulares se mantiene estrictamente por debajo del 45 por ciento, de modo que la pregunta de sí/no tiene una respuesta garantizada de sí. El enunciado (2) solo indica el monto total estimado en dólares y nunca relaciona el ingreso por clases particulares con el total, por lo que no permite responder la pregunta. El resto de esta guía explica en detalle por qué.
Paso a paso
Paso 1: Defina las cuatro cantidades
En Data Sufficiency, una notación clara es una ventaja. Hay cuatro valores en juego: dos estimados y dos reales:
- EI = ingreso total estimado
- AI = ingreso total real
- ET = ingreso estimado por clases particulares
- AT = ingreso real por clases particulares
La pregunta es de tipo sí/no: ¿Es AT ≤ 0.45 × AI? De manera equivalente, ¿la proporción real AT/AI es de como máximo el 45 por ciento? El objetivo no es calcular esa proporción, sino determinar si cada enunciado obliga a una única respuesta de sí o no.
Paso 2: Convierta "error menor al 20 por ciento" en un rango
Parta de la definición que el problema le da: p = 100|e − a| / a. Un error menor al 20 por ciento significa:
|e − a| / a < 0.20, por lo tanto 0.8a < e < 1.2a.
La estimación se encuentra dentro del 20 por ciento del valor real en cualquier dirección. Como la pregunta se refiere a los valores reales, despeje la misma desigualdad para obtener a:
e / 1.2 < a < e / 0.8.
Este es el movimiento más importante de todo el problema. Aplíquelo a ambas cifras de ingreso:
- Para el ingreso total: EI / 1.2 < AI < EI / 0.8
- Para el ingreso por clases particulares: ET / 1.2 < AT < ET / 0.8
Paso 3: Evalúe el enunciado (1)
El enunciado (1) indica que el ingreso estimado por clases particulares fue el 30 por ciento del ingreso total estimado: ET = 0.30 × EI. Queremos saber si AT/AI puede superar 0.45 en algún caso. Por ello, lleve la razón AT/AI a su valor máximo posible usando los rangos del Paso 2.
Para maximizar la fracción AT/AI, haga que el numerador AT sea lo más grande posible y el denominador AI lo más pequeño posible:
- AT máximo: justo por debajo de ET / 0.8 (la estimación de clases particulares fue una sobreestimación de casi el 20 por ciento — el valor real es menor, de modo que AT se aproxima a ET / 0.8 sin alcanzarlo).
- AI mínimo: justo por encima de EI / 1.2 (la estimación total fue una subestimación de casi el 20 por ciento — el valor real es mayor, de modo que AI se aproxima a EI / 1.2 desde arriba).
Ahora acote la razón:
AT / AI < (ET / 0.8) / (EI / 1.2) = (ET / EI) × (1.2 / 0.8) = (ET / EI) × 1.5.
Sustituya ET = 0.30 × EI, de modo que ET / EI = 0.30:
AT / AI < 0.30 × 1.5 = 0.45.
La proporción real del ingreso por clases particulares es estrictamente menor al 45 por ciento incluso en el caso más extremo que permiten las reglas — y, por lo tanto, en todos los casos posibles. La respuesta a "¿El ingreso real por clases particulares representó como máximo el 45 por ciento del ingreso total real?" es un sí definitivo. El enunciado (1) es suficiente.
Paso 4: Por qué la desigualdad estricta lo confirma
Observe que nunca llegamos exactamente a 0.45. Dado que ambos errores son estrictamente menores al 20 por ciento, los límites e/0.8 y e/1.2 son valores a los que se puede aproximar pero que nunca se alcanzan. El valor más alto que puede tomar AT/AI se acerca a 0.45 sin jamás tocarlo. Por lo tanto, AT/AI < 0.45, lo que cumple la condición de "como máximo 0.45", y la respuesta es inequívocamente sí. Este detalle sobre la diferencia entre desigualdad estricta e inclusiva es exactamente el tipo de matiz que el GMAT utiliza para distinguir a quienes razonan con rigor de quienes se guían por la intuición.
Paso 5: Evalúe el enunciado (2)
El enunciado (2) indica que el ingreso total estimado fue de $40,000, es decir, EI = $40,000. Eso fija una sola cifra en dólares y nada más. No nos dice nada sobre ET, la estimación por clases particulares, ni sobre la relación entre ese ingreso y el total. La proporción real del ingreso por clases particulares podría ser del 5 por ciento o del 80 por ciento; ambos escenarios son compatibles con EI = $40,000. Como el enunciado no determina una única respuesta de sí o no, el enunciado (2) es insuficiente.
Paso 6: Combinar y elegir
El enunciado (1) por sí solo es suficiente; el enunciado (2) por sí solo no lo es. En la cuadrícula de Data Sufficiency, eso corresponde exactamente a la respuesta A. No es necesario analizar los dos enunciados juntos, porque en cuanto uno es suficiente por sí solo y el otro no, la respuesta A (o B) queda determinada.
Enunciado (1): suficiente. Enunciado (2): no suficiente. → Respuesta: A.
La teoría del GMAT detrás del problema
Esta pregunta no trata realmente sobre ingresos. Es un problema de error porcentual y acotamiento disfrazado de problema verbal. Se evalúan tres conceptos clave.
El error porcentual y el rango estimado-real
El error porcentual compara una estimación con un valor real: p = 100|e − a| / a. El denominador siempre es el valor real, no la estimación — un detalle que el GMAT verifica. "Error menor al 20 por ciento" define una banda: la estimación se encuentra en (0.8a, 1.2a), y de manera equivalente el valor real se ubica en (e/1.2, e/0.8). Siempre que una pregunta del GMAT le proporcione un error o una tolerancia, reescríbalo de inmediato como una desigualdad que pueda manipular.
Maximizar una razón llevando el numerador y el denominador en direcciones opuestas
Para determinar si una razón puede superar un umbral en una pregunta de sí/no, se evalúa el caso extremo. Una fracción AT/AI es máxima cuando el numerador es lo más grande posible y el denominador lo más pequeño posible. Los dos errores son independientes — la estimación del ingreso por tutorías de Emma y la de su ingreso total pueden errar cada una en la dirección que más nos perjudique — por lo que es válido fijar una en su extremo máximo y la otra en su extremo mínimo de manera simultánea. Reconocer esa independencia es la clave.
Real versus estimado, y cuál de los dos pide la pregunta
Los enunciados proporcionan información sobre valores estimados; la pregunta se refiere a valores reales. Toda la solución es un puente entre unos y otros, construido a partir de los límites del error. Quienes responden la pregunta sobre los valores estimados (donde 30 por ciento < 45 por ciento parece una respuesta inmediata de sí) pasan por alto que la proporción real puede inflarse hasta en un factor de 1.5 — y ese factor de 1.5 = 1.2/0.8 es precisamente lo que convierte el 30 por ciento en un peor caso del 45 por ciento.
Cómo evitar las trampas del GMAT
| Trampa | A qué lo induce | Por qué es incorrecto |
|---|---|---|
| Responder sobre los valores estimados | Ver que "estimación de tutorías = 30% de la estimación total," concluir que 30% ≤ 45% y considerarlo suficiente y obvio. | La pregunta se refiere a los valores reales. Los errores pueden inflar la proporción real hasta 30% × 1.5 = 45%. El resultado sigue siendo sí, pero solo después de realizar el trabajo de acotamiento — omitirlo es suerte, no razonamiento. |
| Elegir C "por precaución" | Suponer que se necesita la cifra en dólares del enunciado (2) más la razón del enunciado (1) para calcular cualquier cosa. | El enunciado (1) ya es suficiente sin necesidad de ninguna cifra en dólares. La razón, no los dólares, resuelve la pregunta. Elegir C es pagar de más. |
| Usar ≤ en lugar de < | Dejar que los errores sean iguales al 20%, obtener AT/AI = 0.45 exactamente y declarar el enunciado (1) ambiguo. | Los errores son estrictamente menores al 20%, por lo que 0.45 nunca se alcanza. La proporción se mantiene por debajo del 45%, así que la respuesta es un sí definitivo. |
| Empujar ambos errores en la misma dirección | Suponer que ambas estimaciones se sobreestiman (o ambas se subestiman) a la vez. | Los errores son independientes. El peor caso combina direcciones opuestas: tutorías sobreestimadas, total subestimado. Evalúe el extremo genuino. |
Un esquema reutilizable del GMAT para Data Sufficiency con error porcentual
- Reescriba la pregunta como una desigualdad de sí/no. Aquí: ¿es AT/AI ≤ 0.45?
- Convierta cada error o tolerancia en un rango. Error < 20% se convierte en e/1.2 < a < e/0.8.
- Para un umbral de razón, evalúe el caso extremo. Maximice el numerador y minimice el denominador, usando errores independientes en direcciones opuestas.
- Distinga entre estricto e inclusivo. Un < estricto significa que el límite extremo se aproxima pero nunca se alcanza.
- Evalúe cada enunciado por separado primero. Solo combínelos si ninguno es suficiente por sí solo.
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Preguntas frecuentes sobre Data Sufficiency con error porcentual en el GMAT
¿Cuál es la respuesta a la pregunta de error porcentual de Emma?
La respuesta es A: el enunciado (1) por sí solo es suficiente, pero el enunciado (2) por sí solo no lo es. El enunciado (1) fija la proporción estimada de tutorías en el 30 por ciento del ingreso total estimado, y aun en los peores casos extremos la proporción real de tutorías se mantiene estrictamente por debajo del 45 por ciento, por lo que la respuesta de sí/no es un sí definitivo.
¿Cómo se convierte un error menor al 20 por ciento en un rango?
El error porcentual es p = 100|e − a| / a. Un error menor al 20 por ciento significa |e − a| / a < 0.20, es decir, 0.8a < e < 1.2a, y al despejar el valor real se obtiene e/1.2 < a < e/0.8. Esto convierte la condición de error en un rango bien definido que se puede acotar.
¿Por qué el enunciado (2) es insuficiente?
El enunciado (2) solo proporciona el ingreso total estimado: $40,000. No dice nada sobre la estimación de tutorías, por lo que la proporción real de tutorías podría estar muy por debajo o muy por encima del 45 por ciento. Sin ningún vínculo entre las tutorías y el total, la pregunta no puede responderse.
¿Por qué importa la desigualdad estricta?
Como ambos errores son estrictamente menores al 20 por ciento, la participación real en tutorías se acerca al límite del peor caso del 45 por ciento, pero nunca lo alcanza. La participación es estrictamente menor al 45 por ciento, lo que convierte "como máximo el 45 por ciento" en un sí garantizado.
¿Es esta una pregunta difícil de Data Sufficiency del GMAT?
Es de dificultad media-alta. La aritmética es sencilla, pero evalúa la capacidad de convertir el error porcentual en un rango, llevar dos errores independientes a sus extremos de forma simultánea y razonar con desigualdades estrictas: exactamente las habilidades que premia el Data Sufficiency del GMAT Focus Edition.