La pregunta
Un vendedor de leche mezcla agua con leche y vende la mezcla al mismo precio por litro que si fuera leche sin diluir. El precio de venta por litro de la mezcla equivale al costo por litro de la leche más un incremento del x%. El agua no le cuesta nada al vendedor. Si el vendedor obtiene una ganancia del 50% sobre la venta de la mezcla, ¿cuál es el valor de x?
(1) Si el vendedor mezcla la mitad de la cantidad de agua prevista y vende cada litro de la mezcla al costo por litro de la leche sin diluir, obtendrá una ganancia del 10%.
(2) La concentración de leche en la mezcla después de agregar agua es 5/6.
Las opciones de respuesta en Data Sufficiency
Todas las preguntas de Data Sufficiency del GMAT utilizan las mismas cinco opciones fijas. Memorícelas para no tener que releerlas el día del examen:
A. El enunciado (1) POR SÍ SOLO es suficiente, pero el enunciado (2) por sí solo no lo es.
B. El enunciado (2) POR SÍ SOLO es suficiente, pero el enunciado (1) por sí solo no lo es.
C. AMBOS enunciados JUNTOS son suficientes, pero NINGUNO por sí solo lo es.
D. CADA enunciado POR SÍ SOLO es suficiente.
E. Los enunciados (1) y (2) JUNTOS NO son suficientes.
La respuesta rápida
La respuesta correcta es D. La condición de ganancia del 50% se reduce a una ecuación limpia: (1 + r)(1 + x/100) = 1,5, donde r es la proporción agua-leche. Por lo tanto, lo único que necesita para determinar x es r. El enunciado (1) le entrega r = 0,20 a través de un segundo escenario de ganancia, y el enunciado (2) le entrega el mismo r = 0,20 a través de la concentración de leche. Cada enunciado por sí solo fija la proporción, de modo que cada uno por sí solo da como resultado x = 25%. El resto de esta guía explica con precisión el porqué.
Paso a paso
Paso 1: Defina las variables y escriba la ecuación de ganancia
En Data Sufficiency, una notación clara es una ventaja. Defina:
- C = el costo por litro de leche pura para el vendedor
- m = x/100, el incremento expresado como decimal
- M = litros de leche en el lote
- W = litros de agua añadidos
- r = W / M, la proporción agua-leche
El precio de venta por litro de la mezcla es el costo de la leche por litro más el incremento, de modo que PV por litro = C(1 + m). Como el vendedor vende toda la mezcla, el volumen vendido es M + W litros y los ingresos son:
Ingresos = (M + W) × C(1 + m).
La clave del problema: el agua es gratuita, por lo que el único gasto del vendedor es la leche. Costo total = M × C. Una ganancia del 50% significa que los ingresos equivalen a 1,5 veces el costo:
(M + W) × C(1 + m) = 1,5 × (M × C).
Paso 2: Reduzca la ecuación a la proporción
Divida ambos lados entre M × C. El costo por litro C se cancela por completo —los precios nunca importan aquí— y (M + W) / M se convierte en 1 + r:
(1 + r)(1 + m) = 1,5.
Esta es la ecuación central de todo el problema. La pregunta pide x = 100m, y esta ecuación muestra que m queda determinado en el momento en que se conoce r. Así, la verdadera pregunta ya no es "¿cuánto vale x?" sino "¿conocemos la proporción agua-leche r?" Cada enunciado no es más que una forma distinta de proporcionarnos r.
Paso 3: Evalúe el enunciado (1)
El enunciado (1) describe un segundo escenario hipotético: se usa la mitad de la cantidad de agua prevista (proporción r/2) y se vende cada litro al costo simple de la leche C, es decir, sin incremento. En ese caso, el precio de venta por litro es simplemente C, el volumen es M + W/2 = M(1 + r/2) y el costo sigue siendo M × C (el agua es gratuita). La ganancia en este escenario:
Ganancia = Ingresos / Costo − 1 = [M(1 + r/2) × C] / (M × C) − 1 = (1 + r/2) − 1 = r/2.
Se nos dice que esta ganancia es del 10%, por lo tanto:
r/2 = 0,10 ⟹ r = 0,20.
Ahora sustituya r = 0,20 en la ecuación principal: (1,20)(1 + m) = 1,5, de donde 1 + m = 1,25, m = 0,25 y x = 25. El enunciado (1) es suficiente.
Paso 4: Evalúe el enunciado (2)
El enunciado (2) indica que la concentración de leche en la mezcla es 5/6, es decir, el volumen de leche sobre el volumen total:
M / (M + W) = 5/6 ⟹ 6M = 5M + 5W ⟹ M = 5W ⟹ W / M = 1/5 = 0,20.
Esa es exactamente la proporción que necesita la ecuación principal: r = 0,20. Sustituyendo: (1,20)(1 + m) = 1,5, de donde m = 0,25 y x = 25. El enunciado (2) es suficiente.
Paso 5: Elija la respuesta
Ambos enunciados por sí solos entregan r = 0,20 y, por lo tanto, x = 25. Cuando cada enunciado es suficiente de forma independiente, la respuesta en Data Sufficiency es D — y nótese que ambos caminos coinciden en el mismo número, lo cual es la verificación de coherencia que los diseñadores del GMAT incorporaron deliberadamente.
Enunciado (1): suficiente (x = 25). Enunciado (2): suficiente (x = 25). → Respuesta: D.
La teoría del GMAT detrás del problema
Este problema no trata realmente sobre leche. Es un ejercicio de ganancias y mezclas que pone a prueba tres conceptos a la vez.
Un ingrediente gratuito reduce el costo real por litro
Como el agua no tiene costo, el costo total del lote se mantiene en MC aunque el volumen vendido aumente a M + W. El costo real por litro de la mezcla es MC / (M + W) = C / (1 + r), que es inferior al precio de la leche C. Vender al precio de la leche más un incremento superpone dos fuentes de ganancia: la dilución y el incremento. Por eso un modesto incremento del 25% puede generar una ganancia del 50%.
La ganancia depende de la proporción, no de los precios ni los volúmenes
El costo por litro C y la cantidad absoluta de litros M se cancelan al dividir los ingresos entre el costo. Todo se reduce a la razón adimensional r = W/M. Cuando un problema de ganancias o mezclas del GMAT parezca que le faltan números, verifique si las incógnitas se cancelan — las preguntas de Data Sufficiency son con frecuencia "suficientes" precisamente porque las cantidades complejas no sobreviven el álgebra.
Dos enunciados, una variable oculta
Los enunciados (1) y (2) lucen completamente distintos — uno es un escenario hipotético de ganancias y el otro una fracción de concentración — sin embargo, ambos existen únicamente para entregar r. Identificar que la pregunta tiene una sola variable oculta (la razón) es lo que permite evaluar cada enunciado en segundos, en lugar de realizar dos veces cálculos completos de ganancias.
Cómo evitar las trampas del GMAT
| Trampa | Qué lo lleva a hacer | Por qué es incorrecto |
|---|---|---|
| Buscar el precio o el volumen | Concluir que necesita el costo de la leche C o la cantidad de litros antes de poder encontrar x, y luego elegir C o E. | C y M se cancelan. La ecuación de ganancia (1 + r)(1 + m) = 1,5 solo necesita la razón r, por lo que los precios y los volúmenes nunca son necesarios. |
| Incluir el agua en el costo | Tratar el costo de la mezcla como si cubriera todos los M + W litros, diluyendo la ganancia. | El agua es gratuita. El costo total es MC, no (M + W)C. Olvidar esto subestima la ganancia y arruina el planteamiento. |
| Malinterpretar el escenario del enunciado (1) | Aplicar el incremento x% nuevamente, o usar la cantidad total de agua, en el supuesto hipotético. | El enunciado (1) cambia dos cosas: la mitad del agua (razón r/2) y sin incremento (venta al precio C). La ganancia es simplemente r/2, lo que da r directamente. |
| Invertir la fracción de concentración | Leer 5/6 como W/(M + W) o como W/M, obteniendo la razón incorrecta. | La concentración de leche es leche sobre el total: M/(M + W) = 5/6, lo que da W/M = 1/5 = 0,20. Lea la fracción con cuidado. |
| Detenerse en "parece suficiente" | Ver que el enunciado (1) funciona, marcar A y nunca evaluar el enunciado (2). | El enunciado (2) también determina r por sí solo. Cada enunciado por separado es suficiente, por lo que la respuesta es D, no A. |
Un planteamiento reutilizable del GMAT para Data Sufficiency de mezclas y ganancias
- Exprese la ganancia como ingresos ÷ costo. Una ganancia del 50% significa que ingresos / costo = 1,5; una ganancia del 10% significa 1,10, y así sucesivamente.
- Incluya en el costo solo lo que realmente se pagó. Un ingrediente gratuito aumenta el volumen, pero no el costo — manténgalo fuera del término de costo.
- Divida para eliminar precios y volúmenes. Cancele el costo unitario y la cantidad base para que la ecuación quede expresada enteramente en razones.
- Identifique la única variable oculta. En este caso, cada enunciado existe para entregar la razón agua-leche r. Determine qué está fijando realmente cada enunciado.
- Evalúe cada enunciado por separado y esté atento a la opción D. Si ambos fijan la variable oculta de manera independiente, la respuesta es D — y los dos valores deben coincidir.
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Preguntas frecuentes sobre Data Sufficiency de mezclas y ganancias en el GMAT
¿Cuál es la respuesta a la pregunta de mezclas del vendedor de leche?
La respuesta es D: cada enunciado por separado es suficiente. El incremento cumple (1 + r)(1 + x/100) = 1,5, por lo que x queda determinado en el momento en que se conoce la razón agua-leche r. El enunciado (1) da r = 0,20 y el enunciado (2) da r = 0,20, por lo que cada uno por sí solo determina x = 25%.
¿Por qué el agua gratuita cambia el costo por litro?
El agua no tiene costo, por lo que el costo total del lote se mantiene en MC mientras el volumen vendido crece hasta M + W. El costo real por litro de la mezcla es MC/(M + W) = C/(1 + r), por debajo del precio de la leche. Vender al precio de la leche más un incremento convierte ese descuento oculto en ganancia adicional.
¿Cómo se plantea la ecuación de ganancia para la mezcla leche-agua?
El costo es MC, los ingresos son (M + W) × C(1 + m), y una ganancia del 50% significa ingresos/costo = 1,5. Al dividir entre MC se cancelan el precio y el volumen, y se obtiene (1 + r)(1 + m) = 1,5, donde r = W/M. Si se conoce r, se conoce m y, por lo tanto, x.
¿Por qué el enunciado (2) es suficiente?
Una concentración de leche de 5/6 significa M/(M + W) = 5/6, entonces 6M = 5M + 5W, lo que da M = 5W y W/M = 1/5 = 0,20. Esa es la razón r que necesita la ecuación. Con r = 0,20, (1,20)(1 + m) = 1,5 da x = 25%.
¿Es esta una pregunta difícil de Data Sufficiency del GMAT?
Es de dificultad media a alta. El álgebra es breve, pero exige reconocer que el incremento depende únicamente de la razón, manejar un ingrediente gratuito que reduce el costo por litro e identificar que dos enunciados aparentemente distintos entregan la misma razón — precisamente las habilidades que recompensa Data Sufficiency en el GMAT Focus.